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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 !280`Nz%e  
qL,innF  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. T|TZAMo)V  
]Eees]R[hT  
　　1、三角函数本质： w+3_6c%?  
[xf``5Em  
　　三角函数的本质来源于定义 gNc4r  
*BZUcn*  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PT+R6AY'  
\1.1<9h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 3g%=G"W4  
%'#p-.6sB  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： o8{#t g  
O~e~&T  
　　推导： c Eo,dc#8  
sxI$P6:y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~`"rmgY  
!oXzZ:yt  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) k:ObQt[qw  
WyY7+aEs|T  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  1?GI~(  
X>dg1d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 eZsJ#~v3  
So_Mn  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]OHXJ-A!  
hx=)RI(V  
　　[1] 3x8Yq//M5  
a39r%Qd<Cc  
　　两角和公式 vL)U/4]  
I1Y"8<{tX  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 44>CQe. #  
P<.75dq6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  T6R?i  
75FujZ/3  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB LB32(o  
:&?^i1u9w  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ^;JI@SDq  
mAM:R  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) g`a#'EJ]0  
T)?!Q LI  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) b"9eq}).@  
` >pI&  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  GR 4mt'  
/j*nGlO]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) wFaVri5b7L  
>lVX63k  
倍角公式 XSzpob!"P  
*$!wNPbp3  
　　Sin2A=2SinA•CosA }Qb2. A W  
No6UKH~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @[UgI}=N^c  
,Ks6l;p<  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s@ }m.yEq  
e`$x/UP6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） b )}G}I  
OkS5,gN&  
三倍角公式 #FH9{7>^  
6gV+m  
　　 \-2a]pvSk  
E~-%|0k(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +}lyQW%#  
F%Q &  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) nMLQCI  
VbJy y6  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Y_N?\M C  
S!sP(N  
三倍角公式推导 4}ah6e?B8d  
Nj>j<qEM  
　　sin3a 1kkf`f4@=  
sAm}!  
　　=sin(2a+a) mqD_[r2  
@DnGF%XT.  
　　=sin2acosa+cos2asina yL'G4n*8  
ZToY?w%c  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina gvnxo<*  
/eX>}OXd  
　　=3sina-4sin³a <ZuJ(   
+)Xz7?:;J,  
　　cos3a {#9&Ssl+mV  
*ZK8@d|J z  
　　=cos(2a+a) <0Xlp `s  
<@ $d#  
　　=cos2acosa-sin2asina mG< i|l5  
M+LULu<e  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $QJ0aBXc?S  
q@pk E19M  
　　=4cos³a-3cosa k51R{]PX  
~f%PKSSK(  
　　sin3a=3sina-4sin³a |BS(C:SMhs  
W]8gV  
　　=4sina(3/4-sin²a) Gd)V2i  
?;J1>W@sG  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] #L"w27JF?K  
`#%UC"SR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) +O%86=[C  
GF|KA*-  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) PDnW[7x1u  
A@8x@HLv  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] H}!D/[$r  
ShxMN  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %/ZI@?vKd  
&9@KF$xQ5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2Wp6K98H  
?C sS;(^  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @(" RMZ:Q  
4QH`r,@  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] WP}R3%?\a  
W 9 O2R  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) sd!m[>ZJ  
/yLviu  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) s{ d@=^)G  
1l&v:v5e{2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} dz)aK--_;  
bF3r%{JlB  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +?En6*9xb  
_\F(XX'  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] V`N/`2_k  
.4\zM9  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] H0+U>n&W  
XeRmu>n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) cgUS%,JD  
cEIgZ~Toa  
　　上述两式相比可得 N;)&i0  
`dZeY|  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) EZ%x~! z  
/kkN =E_  
半角公式 mYx%wHkT  
Sx5\g!.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); MyuSU]o;z  
S=`soT)  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. O I3^_@  
+^JgTG"ZI  
和差化积 #Ee ]]1r  
oi]7cQ8w  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q_$4}"  
Ql $gn  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] v drrA  
;3C H\q#0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] K&kvv={2X  
]=p%*e?A  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &=Jv0"gU&  
g4:$$  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) >LMuN -1d  
8MZY?Y8  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) I{7*MS|"  
<RKkKq._  
积化和差 jE6PA,^5  
hzxT3E  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1Qap_y0  
C.%`BVw  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] [YM3!|w  
&h S+yD  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] h' +H$Z>p  
N>kmE61?v  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]  tGzd.fy  
,jY5V7Z  
诱导公式 5uq.R|  
,s^l"2*m  
　　sin(-α) = -sinα xv)9abCg  
`4K8.Y<"  
　　cos(-α) = cosα goq;o -9  
J)qt!  
　　sin(π/2-α) = cosα IR jtISjO  
3 :VXT2:  
　　cos(π/2-α) = sinα ONXUr) 1  
uJQ}r  
　　sin(π/2+α) = cosα O`gmzK-W  
;<*rc}  
　　cos(π/2+α) = -sinα #6"ug,K ^  
])SMjlv  
　　sin(π-α) = sinα m)`'B~A  
c@Bbhc_  
　　cos(π-α) = -cosα L%"(PnD/  
w=_-"Cg$1  
　　sin(π+α) = -sinα cO!Zeo8Gdv  
XL4JJ7/U  
　　cos(π+α) = -cosα 8$B\5m=D  
ZN=%.hyY  
　　tanA= sinA/cosA W}w  
3Z}hca  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα OjL6 #-  
:c-Kj%rjd  
　　tan（π/2－α）＝cotα [jmA up;Z  
N3Mu^Kg9P  
　　tan（π－α）＝－tanα Vb, : b8f  
[fQC2[H  
　　tan（π＋α）＝tanα O%K\ Rw05  
98s6?  
万能公式 SON3 ~`DP  
])QdgT  
　　 m^;<n4jis  
A%+LxX[  
其它公式 n'@>; D  
chmFupRaoy  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @#!!<o4pR  
v}k]Q;   
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 nJ| :r E  
:0{b(  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 D S+-`q7U>  
$Z&:s@I  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 uj#CO--"  
'-)i8(SyV2  
　　对于任意非直角三角形,总有 sufxNz@  
si, QSLz  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^+xirisxJ  
_6kT=k/@@`  
　　证: im%   
d^wdV< 0O  
　　A+B=π-C AO($r4K  
{Obf/b:'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "[/CRR  
0!IJ_RU  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Bdu`<7@X6  
R(BYh-1]7E  
　　整理可得 zPD K&   
c<G4Tf%~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b27/ga  
uKdpiIE{  
　　得证 Soo.R"IK  
wun5 S(R  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 LgfWD+3S  
F){O%'AQ$  
其他非重点三角函数 6K*?.Ov  
sfiVjVe  
　　csc(a) = 1/sin(a) *Q0(rDG  
'-uBdg  
　　sec(a) = 1/cos(a) lDl}R[d+  
QWKn!T{l"  
　　 8wxIe>F.  
`6 L0$u  
双曲函数 R 8*-Uo  
Ye4:n_JC  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4i_gk-:  
WtUiG&;  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1{dgk%g  
haQKv\bKC  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  #kaAk:8  
Fc,b\d!#uA  
　　公式一： f^6d~  
1A4iqn2O  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： gE)_l9"aL  
y3vae?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ny$i4dP8  
| ^Cc1DW  
　　cos（2kπ＋α）= cosα "e54_=56Bf  
y|8 >K?ty  
　　tan（kπ＋α）= tanα {1^rksF=  
{<$n!TTr7t  
　　cot（kπ＋α）= cotα T[fQ L%  
%!/=Z#7s`  
　　公式二： fnQGOmxG  
Y Wk?*hlo~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ji~l$xHv  
l 8:L:.  
　　sin（π＋α）= -sinα OVA3ZU{T  
\T>KGTu  
　　cos（π＋α）= -cosα uuWU{u  
F{g5kL &  
　　tan（π＋α）= tanα %/%G;Omf  
(s0zsgH  
　　cot（π＋α）= cotα L p Oay;WA  
|LyBO=  
　　公式三： }\QhjCkx  
l7WPzDeG  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： m'rBl7G$gT  
S S,q>l2  
　　sin（-α）= -sinα {ES/v."r  
mX1e] '  
　　cos（-α）= cosα |*uGut*  
^l;rdIC  
　　tan（-α）= -tanα B {%*ha  
B=K ol]{w  
　　cot（-α）= -cotα 1[aVm3A{]8  
t9s1[j$Z  
　　公式四： vofrzq6f_3  
 Y""?A,v  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： rKz*uyY  
MJVZtW  
　　sin（π-α）= sinα |]iPs !~ g  
d5dmOg_W  
　　cos（π-α）= -cosα PN+^N=hKA  
kY]18#  
　　tan（π-α）= -tanα Dg7ys75H  
-u\ ZKoFo  
　　cot（π-α）= -cotα ]_0^w  
606:Rt.L  
　　公式五： {}!6 e  
/-I0x;rL*  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： be`"7~  
?<8fD>~  
　　sin（2π-α）= -sinα 0pCdl~sF  
;g`0V }R>  
　　cos（2π-α）= cosα KNv\ u~  
fK09$R^!  
　　tan（2π-α）= -tanα ;whirtW  
_coV3~>sR  
　　cot（2π-α）= -cotα gm~}+[R$p  
q^-$aid  
　　公式六： J|M y/  
3_g\^;IQ^  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：  Sz&}f  
yf=is#  
　　sin（π/2+α）= cosα 4#KqKE  
kRoh|@]  
　　cos（π/2+α）= -sinα CU2JYoaL"  
B\K*'  
　　tan（π/2+α）= -cotα B?v~"%8>  
Oq9 )eW_u@  
　　cot（π/2+α）= -tanα @{U uN<  
Bf9K.a_4l  
　　sin（π/2-α）= cosα ITB \ #}(?  
T@P;~%he  
　　cos（π/2-α）= sinα JuEa%!F  
*d R"j)_)  
　　tan（π/2-α）= cotα fiYKa=q|  
eB\hZb\p4  
　　cot（π/2-α）= tanα B|u`Etf=  
F.YC FH6E  
　　sin（3π/2+α）= -cosα %&p+G@L \  
4 Gf0[u3:  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~QS<dCDBa  
E{z,ha^e  
　　tan（3π/2+α）= -cotα v&Fk3JNl9  
n5/KnG q  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >I Vl  
YdjFU_%0?  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 1k u:D}  
a @Y|1LM1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα K_ 2]nh{y  
{T$73}\3e  
　　tan（3π/2-α）= cotα Q/.=8[s5X  
f_}>eD{  
　　cot（3π/2-α）= tanα @*C!Y"`i  
_vCOC;4A  
　　(以上k∈Z) Z3IF  
[9mwUZ5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 \ |L] RV  
4AZs_  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = +4grI^h  
lM1&x5fDVJ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 0 2 S\  
Gaah,.#-<  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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