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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "R|&~8  
P`&6.*S6$K  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "_*%tS6E"  
]+vhrfX  
　　1、三角函数本质： Abo~$O`OD  
k*SI 0KR  
　　三角函数的本质来源于定义 |5zf-%K=  
p8`Z u)<KJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 chPd=o5{u  
mW`$ 6o  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 q!G^Z1  
g'&w]%N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： &y69ii@}?  
22EbOGF+f  
　　推导： tUf1`Qc  
h9q@U^5q  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T{2;dJ4JH  
hiA=}6Q  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) VKpw/H@  
#b zNZ;@1  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) "w0|z  
>p"f;KW*#  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 \GRJvw  
zxy'NJs  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 5[$T7%  
VI?7|:6 ]  
　　[1] fF!ST8:[  
wsS  
　　两角和公式 +v1*0"y3g  
-R'l%V;W  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 15i-evY\  
3v? $w  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  K/"xWDDx  
ydN JVAr  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB OFo*,7k#  
1oxTL9  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %e=}MF  
Gvowi1Ui?  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Vp9kw9c}0  
: 55*]2  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^sq3'-40  
h'*V,3RmD  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  'O"qWPwW  
NeKc}yk  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _e_ mA  
5. =]Z WC[  
倍角公式 3 4x*|s;#  
sGwr-{  
　　Sin2A=2SinA•CosA YW~:  
n{r_@FRN  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +gt`z'-  
W,e,(R#(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #?wuUD'%6  
2FrZ#E  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） k<? q&Xn  
D9@52As  
三倍角公式 A6$,6*-  
e.PXQ@B  
　　 fm\/DLRb  
aClaa^=U  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 1iPRy_~l,  
|-J8 0:)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) !&J#d   
n.xH g  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /: NM-_  
P1 9}6ie  
三倍角公式推导 -R&r.  
H*VO[yq;&  
　　sin3a cfl,`7~  
^0C -<#.t~  
　　=sin(2a+a) xk+V^gl  
?P| o  
　　=sin2acosa+cos2asina {( yT) &m  
K4PjQn1;K  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,iA+$E1)  
3QR[z%4s  
　　=3sina-4sin³a kh&lj'[?  
t%g# |  
　　cos3a 0Q&nH-'G  
f;5'kZ  
　　=cos(2a+a) }~3>Pj1+ X  
B!)jQu^  
　　=cos2acosa-sin2asina j\B*$]bM4+  
*2'4]p94s  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa f @'k0e:Y  
b;;49lq_  
　　=4cos³a-3cosa KCRpcE`7  
^?YQp%XW#  
　　sin3a=3sina-4sin³a ;j7AOc8`U  
V;Ioi2p  
　　=4sina(3/4-sin²a) ! vOWz"VV  
A3 M0Tx  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] N>Cr082?  
Cjge7\=#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) eHs$NP  
5 L$3(M  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (d@GrU@]H  
4UicH*X  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] JUE^P iJ  
* QjM<f  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) *%2m:8nL  
,)VQK|T J  
　　cos3a=4cos³a-3cosa kW~G2t}S0  
yO;a  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 2F/f{njQ  
=xV} O*l5  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] =&J=C7~YF  
'fj[TH>  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) WSw~8W|_  
PP~;xm~}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) IRtubyBO  
>S@Yd!\`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} q_s%aUwi  
Q j+ aUWd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ay7SO@AFA  
M^9(m< -  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] FM6~,cG`P  
QfPo`Ru24T  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] n[I <3eZ7  
Vnrh r!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) csM3t#m  
91$ @$:J|  
　　上述两式相比可得 POXFpY-7  
(^P.Vm c  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]: X )kzb  
MDf9&3l.  
半角公式 DW){eu  
Wf(iauK'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @dZXB $X_  
jKd>cu  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "FX~fpkZs  
f<KS{(  
和差化积 ADH A}<'f{  
2<@m"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] !xOIbJZ  
qjgBg1Z}  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7m|L*l  
!F74)-jq-^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D m /ru  
?[I4u@]?  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] VtP sS}5  
NdZrhr[*F  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) R<jQCBv  
< hQNW2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 28 kS_qM  
$E H $Z+  
积化和差 F3egl2\ d  
k n`NcpH  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] nW-gNm  
yc_%*!Cr  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] yDFnNM;  
K3\RFjp  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] V zIM  
nQn(3WRQ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] d.COF4&b  
Um] sjai  
诱导公式 8w_W5{"  
V/\]n3gi<  
　　sin(-α) = -sinα KTzUN$W1T  
=D^eP8 <=  
　　cos(-α) = cosα -HL+A[3<  
CR_+E9Xti  
　　sin(π/2-α) = cosα @j`S(9+F  
L)_d?-lI  
　　cos(π/2-α) = sinα s 4e -{*  
'>X- ^  
　　sin(π/2+α) = cosα "z0|Ave c  
S:"Jvu\f  
　　cos(π/2+α) = -sinα .`MXB:@\z  
}i7An  
　　sin(π-α) = sinα >kE| Gw  
NIzXVLsucN  
　　cos(π-α) = -cosα q PTL"I<  
uG8X8!  
　　sin(π+α) = -sinα :>#|@i]'i  
f##SrW.G  
　　cos(π+α) = -cosα a`p] &3  
k.lQaI>c  
　　tanA= sinA/cosA wD}aG*|@f  
6(K>=b.@|  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %>+G|bvW  
;^^~+,|%  
　　tan（π/2－α）＝cotα NnztL-  
1<O%^+K  
　　tan（π－α）＝－tanα IE%4E<X%  
7RXiY~   
　　tan（π＋α）＝tanα wP kkx[+V  
MGc2N(@N  
万能公式 xK^l&7B  
W}@Nv[M  
　　 ozWh@6  
sxK $@u  
其它公式 ^S[[   
Rd"(h/E~Hk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 BU &S *  
*a 8W3=Gm  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 3e'StO8  
D$d jN"  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 %oOz )4  
bus+5#=  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %v$kK  
hY;6j  
　　对于任意非直角三角形,总有 9qsy|_FDH  
n)7#=1U5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ASe{pwdHr  
K 7Jp<Ya  
　　证: rL=a)Bn_[  
i;|t,' G  
　　A+B=π-C ;o+8?;Ci  
h W-1B%  
　　tan(A+B)=tan(π-C) =?> R>&N  
4:?{1+]U#  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) U9W$i+Q6  
HQ_h~;Zg  
　　整理可得 t_y1.t}7  
aorY.zSt@>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC +R";"a%R  
n[& wdc  
　　得证 {-Y @pvT4%  
Ns%:X859W  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 xFqF0Kv  
2 !fldN  
其他非重点三角函数 1\UV#TQ`-  
Ni& G8[s  
　　csc(a) = 1/sin(a) )H,&n#=,  
+WIxXrr8  
　　sec(a) = 1/cos(a) 9= G"[%  
{.D0\{w  
　　 D*8@DE{  
+%*74 y  
双曲函数 Q>qn$SiY  
6 $19  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 W'vX S,_9  
@3Y7$l 1  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 z)M7(c  
y7a'jg*N  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $ 70\J|E  
 PnZU7X  
　　公式一： I}$_Nt \|,  
e\"DV:[  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： I0NJD[K  
FaQP#6Qp  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 'JC>&uKS  
&W&5C/g9^  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5u8H^s  
VH#$[c1JA  
　　tan（kπ＋α）= tanα p05&?FQt>  
:`2H5~Gw'  
　　cot（kπ＋α）= cotα _+:q&u*  
Hs%h\ P  
　　公式二： HU~4p H>  
6z")n@Dk  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;"}6c#Z)  
Bv7zAbltv  
　　sin（π＋α）= -sinα 6M9 sP%P  
$v$)mX1  
　　cos（π＋α）= -cosα iw=&?{Osp  
+02Dck  
　　tan（π＋α）= tanα ?PJZ8wCJu  
<V^nC&iyn  
　　cot（π＋α）= cotα S\M`f>@B  
(q(vn1X4  
　　公式三： ,IX6e 3  
wQ^RJl!h  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 0.[k3 $IT  
N&wl u_  
　　sin（-α）= -sinα y6srI a6  
E4^ $[sy  
　　cos（-α）= cosα bIVu8,?  
tB ,3R$]m  
　　tan（-α）= -tanα 0_-jf$KWf  
]RbKYPWC  
　　cot（-α）= -cotα 64=_$|Yt  
Jx N6uMKf  
　　公式四： -vfjPv%^  
1kT"  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： h= v!x}Q$  
D/h}"uJ  
　　sin（π-α）= sinα \RdEB@`K  
$G|iE/  
　　cos（π-α）= -cosα oaN'7@h8b  
[O@rbP'{N2  
　　tan（π-α）= -tanα xq06f!T   
L;f J ]9  
　　cot（π-α）= -cotα mHqO(qT  
]uo;7(,x  
　　公式五： N4X  
-e~/^a%  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： @|{ agMv6  
7(;GTqhI  
　　sin（2π-α）= -sinα OIX3`nuJ  
iw@vHQr]%9  
　　cos（2π-α）= cosα P?4?  
:! ^ iaGE{  
　　tan（2π-α）= -tanα L ngh z"  
M*n#T k  
　　cot（2π-α）= -cotα zJd8DAm  
i8u9wl c  
　　公式六： =5yt UbNh  
H{*$B%  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2}'WF }  
J x};spQ  
　　sin（π/2+α）= cosα ue76/0n  
],jb=*|+1  
　　cos（π/2+α）= -sinα 1y 3bf\  
(UlD'QJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα opumK)Op94  
&Ip im,  
　　cot（π/2+α）= -tanα ) fK!JH  
q#e1J6)Q  
　　sin（π/2-α）= cosα L.{IO]}[~  
/Y@vD1sWj  
　　cos（π/2-α）= sinα viD.R  
 Ia#sU  
　　tan（π/2-α）= cotα 9c &" '\\  
*LQ~kM  
　　cot（π/2-α）= tanα -u1^.,U'  
Cl]*[G>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα me>205|  
oB.d`aN~u`  
　　cos（3π/2+α）= sinα .} 9o7*  
o>xu \%%  
　　tan（3π/2+α）= -cotα kx4.Zb`G  
pg{ _e^_  
　　cot（3π/2+α）= -tanα vd.[ 1^  
mH-*P|m0 v  
　　sin（3π/2-α）= -cosα di7C}O65;i  
y9S&p4y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +;H^qm@  
KP'';U*s  
　　tan（3π/2-α）= cotα L 2.vVb}e  
%p(.W$+  
　　cot（3π/2-α）= tanα q T5h [ws  
HyG6fz^Kb>  
　　(以上k∈Z) O[ ngF  
i|$3~Am  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Y!W`oFAh.  
S=qH\2]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 0Qg6@$Q[q  
).lO~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } k,7#E.Uq!  
{5`)g1  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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