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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 qJ&zv5k>|  
]SI2C|b  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. <[ew0we  
Dm:qwLy  
　　1、三角函数本质： rfDVE;t  
(]PXMKE0  
　　三角函数的本质来源于定义 $8%k} '{  
V$v\/W  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 wc\QAqig  
G : QWt  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导  6i3Qa`?F  
Q,a$z>Z[!  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： "k`+3al  
^QM2Bs j)  
　　推导： X$dnTq!4@  
jvl oJ<M  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 rd"5w {7Z  
D&$$<ZV  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) dhc %;SN  
4^9]H$p  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) W175l;  
p22j'aw  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 p N3  
%Su eu/Y  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Y ;&ts}2K  
O-JDA9F  
　　[1] =m@ aln_!  
5^gjJq'=@  
　　两角和公式 Z[t}EFN  
}`EiBpXD  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB v)+ X]1  
1Y 2Y|vZOQ  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  EXP Q(x-4@  
O,E%X(pY  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB v'tY  
!oq  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Y6,!zS G  
qu[!1ydA  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Cv O=d58W@  
qbEv5D9j  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) D_}}[Ei),<  
BO<n|i'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <5Y S!Ez  
N6KQ&SkyZ  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7I:[=AV{|=  
o"]E )   
倍角公式 Y B9K5Q  
^'krY]z  
　　Sin2A=2SinA•CosA b}8})Ho  
)ROY6G~f  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 >Jyn bsj  
OGhMw5  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） z*]+Mk  
L7D7mp  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） GkCm%49m  
L5f78 DZ  
三倍角公式 RXs*6[Qf%  
$ |} n;7  
　　 K)SvD]qq^  
33\B o:r,  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) IJ2rn +{#  
w*;k4Jq :  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) yWOG5NAw  
g h9Z^  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) DOZ9WV!w  
i#^[2 Ws  
三倍角公式推导 =&C?/on  
\"3VuC4  
　　sin3a dVEg(!!h=k  
Wi/l6 EA  
　　=sin(2a+a) }g.uxv  
IV/\hfR  
　　=sin2acosa+cos2asina 1Csy>AAq  
b<9glq  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina q1~A0b!  
B~_W>,~<  
　　=3sina-4sin³a ?=5-H@tY  
h(5 ]l6;.  
　　cos3a 6*;s)!(mjq  
9? UY n6  
　　=cos(2a+a) 7B); Sl/5  
_X!1`.OF_  
　　=cos2acosa-sin2asina jhD43$(7]  
KASX w  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa jPwq ,0  
Poo7m7  
　　=4cos³a-3cosa @!EY'U  
*"{=MY<T*  
　　sin3a=3sina-4sin³a 6%I^WzgGZ  
ZH#M/LiS  
　　=4sina(3/4-sin²a) q9/  
(H_9L?Zt  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] :|N`B  
Iy,Z)>mo  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) f<Yx?fz  
u$p5 9@j  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) TI-U3e>J6  
b 4;@J  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )z' /Rk\  
l[9K*=(&  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) iy`o@{  
VP+>?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa uuD/d3  
\x_&C dS/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 6sPatY  
 NirtMZ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] rop|b+Yc=  
g^oun0<!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Y5\]ECpV  
=>Y8=c  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) IR!kcXMU~  
o60F"q  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} E DA;3I\  
m|AI <j  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +qyJb, gF  
8[ i'/p?  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] .0MkFMF0  
V/q{|$n  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] X6kwX{  
^ # s>M`  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 4mP08!t`p  
e>n'1ohW]O  
　　上述两式相比可得 F4~D=90_  
{\jdS* )EY  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) hQUVJhu  
2I}Zr:OMZ  
半角公式 E'3gX+1o  
j)IYy]l'0`  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  kM&  
B[ rZio5  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. @x~{(W =l  
a y"_l J  
和差化积 a` >bnV0  
vJ>S$~ gB  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A HzK!Y<E  
\{8bG5N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] su:=>Mw t  
&X1 "o+4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y kz%}q  
l',)f5|  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kw t~[  
o@Mm0/cS]  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =s|X'l]  
w`,S@' c,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]OJdC  
W)}6*Q  
积化和差 aN#-b([  
v{JBpM P?j  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !CLhq]#  
V$c1,0+u^,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Bjo{g`4x  
OHDsFiK^b  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] G]oEbe  
hVm&L|ejYz  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] kfh>K90F  
#%?D!  
诱导公式 Y<:MeG  
>=kA ss  
　　sin(-α) = -sinα ?R>Fj2G7JR  
nAuoe[  
　　cos(-α) = cosα .4||`]$  
(DgoyvC(  
　　sin(π/2-α) = cosα |AOMXF  
|N;|LS%v=n  
　　cos(π/2-α) = sinα JN%N/LI/)q  
m'>s@Fii  
　　sin(π/2+α) = cosα =0dRE7>q  
0uXjr G  
　　cos(π/2+α) = -sinα sH`/^WF  
Gz~U[Y  
　　sin(π-α) = sinα :DQQslHR  
8y<fH=gE  
　　cos(π-α) = -cosα <Eh[L!w?;  
!Sq%O 4n  
　　sin(π+α) = -sinα [L>Oys^  
@\LVv4f  
　　cos(π+α) = -cosα PhNS*G  
Io ]Gh   
　　tanA= sinA/cosA fRupi =w8  
M A}Q o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα J^_XY<8  
%+Ph%8z  
　　tan（π/2－α）＝cotα E`Zt+6e  
2vOvZl2xL  
　　tan（π－α）＝－tanα /Ws\'z[  
c. H!Z0qJL  
　　tan（π＋α）＝tanα :g Dh/  
5oN`f0K]V  
万能公式 hZfdbaS  
>?A+[ @  
　　 u%)l=E  
N /aqS  
其它公式 PxY3qezG  
jKR^o.d  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0JXUqM  
CS.l"7 ~  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1>~T DKOb  
WCHIW*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 1pt<FBs+  
BwpLHGWt  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {7Xa87YB  
s(UiG"K:  
　　对于任意非直角三角形,总有 ,}\f *|  
,\C3X=)Xl  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC !qC=l#_.S  
qs0rm/:i  
　　证: ;#9Bgt2T  
su<C)D ld  
　　A+B=π-C GgSDUTc7  
 F Lz u^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) fB=at;y/  
4<6hQz -  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) P0ElYz   
 g}1jYT  
　　整理可得 l+#BrL(>R  
FR28Itg9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,*k8O[Q/j  
@w; }ILpU  
　　得证 \T1I~pJ  
f~<& .|3,U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1xJTv3 C|  
\wmXK{4 N  
其他非重点三角函数 !N'xMFV3b  
?4=7GC>  
　　csc(a) = 1/sin(a) 05f|qBVF  
jJ)8L7#  
　　sec(a) = 1/cos(a) |exE|N1q  
BzI"d  
　　 ji!j@ )>AD  
W]M"FL8*L  
双曲函数 A3 5-m  
X_>I!yp 1  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D,.v\n(  
&\g9~qKr  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #t4 B~v"?R  
_Z0*L$  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;(~=tO(u  
lJWjYvmRj  
　　公式一： >,#Kg[%+5  
<C)Yam-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： o]Qo[z>[=  
-#)4_}V#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα `l25aC#I  
E#Jx?hZ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα }8le(q  
gYO PXpT  
　　tan（kπ＋α）= tanα q/e$hzlT`  
Vr_[#yID  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9-u3S<u%$,  
G-6LF  
　　公式二： Y |.^ &  
I . $N ~@&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： hP%A?l  
O =*BcH  
　　sin（π＋α）= -sinα `|(fo6Z t  
IDtYx  
　　cos（π＋α）= -cosα R_SB74nhZ  
5bzw Ig\y  
　　tan（π＋α）= tanα 0@@|QK.  
mNh=*'i  
　　cot（π＋α）= cotα 0l}j3IoTB  
?A/ Id[{  
　　公式三： @`DH*lERm:  
9fDhi  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： t!RgH3\/  
>N-:\Zl,  
　　sin（-α）= -sinα FBeJXp4  
w bRwJE[F  
　　cos（-α）= cosα &m1yPy!5  
2Kw+sYr  
　　tan（-α）= -tanα Zd|ng-  
 9'E(6  
　　cot（-α）= -cotα O]8 1(7r  
iA8R<4V  
　　公式四： b3F49AAf#  
ac_t?_P8#4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： :'~&GWbz  
iUr 1G  
　　sin（π-α）= sinα Cw}u0(o  
b1VX[cjn  
　　cos（π-α）= -cosα a C(qy_  
@'qUmn?Q  
　　tan（π-α）= -tanα +F_&.\Y+  
~Zy~ vMB  
　　cot（π-α）= -cotα z+b-6w=[:  
1\XWc5?  
　　公式五： 8t5zyrp  
08F{"AN.e  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： UbqsY{K  
.>^ yI>`D  
　　sin（2π-α）= -sinα iX6}U^:-"$  
?+jrIg _  
　　cos（2π-α）= cosα ;"!GJ@`  
=}f=$V  
　　tan（2π-α）= -tanα 1 wLY"I  
8c@L$ gi  
　　cot（2π-α）= -cotα iGVW|Eo?:)  
Ix'1=YVv=y  
　　公式六： Q7~>Wl<  
u4tX9  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Jdbf|`-d  
z #vZZ]L  
　　sin（π/2+α）= cosα cs'Q[8  
Z<?& <C~j  
　　cos（π/2+α）= -sinα }YAR4_P[Z  
C562  
　　tan（π/2+α）= -cotα HQ-EoJv1  
HB\wN2  
　　cot（π/2+α）= -tanα 5 2rZ2  
/p7J"bA\Y  
　　sin（π/2-α）= cosα Kh5JK7%YUU  
Z_;+xrH}  
　　cos（π/2-α）= sinα 1z\*j  
 7h*  
　　tan（π/2-α）= cotα l[982r(  
5y~gO;sS#  
　　cot（π/2-α）= tanα nbwfQi"  
BeL%[mHWn  
　　sin（3π/2+α）= -cosα W|_ ,c),  
9Qp@.r  
　　cos（3π/2+α）= sinα =7,|0./)F  
yQ2WuJ6`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα yn^`[v^  
)H>^E#H[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα {QmH/R  
}8j,~7J2u  
　　sin（3π/2-α）= -cosα P35y x  
RM eP-z  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :k"|#c=  
}E@rq_V  
　　tan（3π/2-α）= cotα r:7zo d  
HN[@hXT  
　　cot（3π/2-α）= tanα Pw}H'W/  
y#uK,'H  
　　(以上k∈Z) qQM.kC}H,  
l\udtlS(  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @It,O=1  
Cv Jp  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /S??? ;(  
Q&_Kmf[o  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } h[V QWt  
QQ&=4%~/R1  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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